p-فضاها و ویژگی آرتین ریس

در این مقاله ویژگی آرتین­ ریس را در حلقه ­ی c(x) ، در حلقه ­ی کسرهای c(x) و حلقه­ های خارج قسمتی  c(x) مورد مطالعه قرار می­دهیم. نشان می­دهیم  یک حلقه ی c(x)/(f)آرتین­ ریس است اگر و تنها اگر z(f) یک p­ـ فضای باز باشد . در این مقاله نشان داده شده است که x  یک p­ـ فضا است اگر و تنها اگر c(x) دارای یک ایدآل ماکسیمال آرتین­ ریس باشد. ثابت کرده ­ایم که یک شرط لازم و کافی برای آن­که حلقه های موضعی  آرتین­ ریس c(x) باشند این است که هر ایدآل اول c(x) مینیمال باشد و از آن­جا معلوم می­شود که هر حلقه ی موضعی c(x) یک حلقه ی آرتین­ ریس است اگر و تنها اگر x یک p­ـ فضا باشد. سرانجام نشان داده ایم که اگر xz(f) در x یک c­ـ نشانده ی چگال باشد، آن گاه c(x)f  منظم است اگر و تنها اگر xz(f) یک p­ـ فضا باشد .